| مکانیک کلاسیک |
|---|
نمودارهای حرکت مداری ماهواره به دور زمین که سرعت و شتاب را نشان می دهد.
|
انرژی مکانیکی به طور خلاصه توانایی بدن برای تولید کار است . [ 1 ] همچنین می توانیم آن را به عنوان انرژی قابل انتقال از طریق یک نیرو تفسیر کنیم . کل انرژی مکانیکی یک سیستم مجموع انرژی جنبشی مربوط به حرکت یک جسم با انرژی پتانسیل مربوط به ذخیره سازی است که می تواند گرانشی یا کشسان باشد. [ 1 ]
- ومتر=و�+وپ
اگر سیستم محافظه کار باشد، یعنی فقط نیروهای محافظه کار بر روی آن وارد شوند، کل انرژی مکانیکی حفظ می شود و ثابت حرکت است [ 1 ] . انرژی مکانیکیومترکه یک جسم دارد مجموع انرژی جنبشی آن استو�با انرژی بالقوه اشوپ.
یک نیرو زمانی به عنوان محافظه کار طبقه بندی می شود که کار انجام شده توسط آن برای حرکت یک جسم از مکانی به مکان دیگر مستقل از مسیر، یعنی مسیر انتخاب شده باشد. برای روشن شدن: برای حمل یک کیسه سیب زمینی و حمل آن به بالای تپه، مسیر انتخاب شده می تواند طولانی تر باشد، در یک مسیر دایره ای راه بروید یا مسیری کوتاه تر و مستقیم تر را دنبال کنید، اما از طریق یک شیب تند. نیروی گرانش محافظه کار است. نمونه ای از نیروی غیر محافظه کار نیروی اصطکاک است که به آن نیروی اتلاف نیز می گویند.
طبق قانون بقای انرژی ، اگر جسمی فقط تحت تأثیر نیروهای محافظه کار باشد، انرژی مکانیکی آن (ومتر=و�+وپ) حفظ خواهد شد. این معادل این است که در این مورد بگوییم که اگر انرژی جنبشی یک جسم افزایش یابد، انرژی پتانسیل باید کاهش یابد و بالعکس، تا حفظ شود.وثابت.
یک توپ خمیر را در نظر بگیریدمتر=0،6 ک�در دست یک شخص در ارتفاع استاچ=4 متراز زمین. انرژی پتانسیل آن است�=متر�اچ=24 ژول ، بودن�=10 مترسدو، شتاب گرانش. در این مکان چون توپ ثابت است سرعت آن برابر است0و بنابراین انرژی جنبشی آن نیز برابر با صفر است، یعنیک=1دومتر�دو=0. بنابراین مجموع انرژی مکانیکی آن استو=24 جی. هنگام پرتاب توپ به زمین برخورد می کند و ارتفاع آن برابر می شود0، و در نتیجه آن�=0. از آنجایی که انرژی مکانیکی حفظ می شود، انرژی جنبشی توپ روی زمین استک=24 جی. از این مقدار می توانیم مولفه اسکالر سرعت لحظات قبل از برخورد توپ به زمین را بدست آوریم، یعنی�=8،94 مترس. هرچه ارتفاعی که توپ از آن پرتاب می شود بیشتر باشد، سرعت آن هنگام رسیدن به زمین بیشتر می شود. برعکس آن نیز صادق است، یعنی هر چه سرعت بیشتر باشد، ارتفاع به آن بیشتر می شود. بنابراین، اگر یک ورزشکار بخواهد ارتفاع خوبی بپرداچ، برای رسیدن به سرعت بالا باید زیاد بدوید. این همان کاری است که ورزشکارانی انجام می دهند که پرش ارتفاع ، پرش سه گام و پرش را با تکامل در ژیمناستیک المپیک انجام می دهند .
معادلات
انرژی مکانیکی یک سیستم محافظه کار به صورت زیر بدست می آید:
بودن:
- و�, انرژی جنبشی ;
- وپ، انرژی پتانسیل .
انرژی جنبشی
کاری که توسط یک نیرو انجام می شودافدر طول مسیر C با انتگرال زیر محاسبه می شود :
- دبلیو�=🔻�اف⋅د�
با توجه به قضیه کار و انرژی جنبشی:
- دبلیو�=Δو�
انرژی جنبشی انتقالی
تعریف انرژی جنبشی انتقالی با حل به دست می آید
از انتگرالی که کار را تعریف می کند:
- دبلیو�=🔻�اف⋅د�.
با استفاده از تعریف نیرو و قانون زنجیره ، انتگرال و متغیر یکپارچه سازی به منظور حل انتگرال اصلاح می شوند:
- 🔻�اف⋅د�=🔻�دپدتی⋅د�=🔻�دپ⋅د�دتی=🔻�دپ⋅�،
روی چه چیزیپتکانه خطی جسم است و�سرعت شماست بیایید تعریف تکانه خطی را در نظر بگیریم:
- پ=متر�
متمایز کردن عبارت و جایگزینی آن در انتگرال:
- دپ=مترد�
- 🔻��⋅دپ=🔻��⋅مترد�
در نهایت انتگرال حل می شود:
- دبلیو�=🔻�0�متر�”د�”=متر�”دودو|�0�=متر�دودو-متر�0دودو
بنابراین انرژی جنبشی به صورت زیر تعریف می شود:
- و�=متر�دودو
نتیجه ادغام بالا ما را به برابری بین کار و تغییر انرژی جنبشی سوق می دهد:
- دبلیو�=Δو�
انرژی جنبشی دورانی
- و��=1دومن�دو
انرژی پتانسیل
انرژی پتانسیل گرانشی : وپ�=متر�اچ
انرژی پتانسیل الاستیک : وپاین استلاینستیمن�این=کایکسدودو
انرژی پتانسیل الکتریکی : وپاین استلاین استتی�من�این=��
انرژی بالقوه : مجموع تمام انرژی های بالقوه
معادلات دیفرانسیل
در فرمالیسمی که مکانیک را توصیف می کند، چند معادله دیفرانسیل وجود دارد:
ددبلیو=دتی
ددبلیو=-د�
جایی کهدبلیوو کار،تیانرژی جنبشی و�انرژی بالقوه در صورتی که دیفرانسیل dW دقیق نباشد، می توان گفت که کار W به مسیر بستگی ندارد.
اگر نیرو محافظه کار باشد، نتیجه می شود:
دتی+د�=0
تی+�=���ستیاین�تیاین است
به این ترتیب، روشن است که انرژی مکانیکی در طول “مسیر” تغییر نمی کند.
مکانیک کوانتومی
در مورد فیزیک کوانتومی ، فرمالیسمی که به مکانیک داده شده اندکی تغییر می کند. قوانین فیزیک در مورد مقیاس نزدیک به هسته اتم متفاوت دیده می شود . معادلات حاکم بر دینامیک اجسام (فرمالیسم همیلتونی و لاگرانژی) با معادله شرودینگر جایگزین می شوند :
اچ^�=و�
جایی کهاچاپراتور همیلتونی است ،�تابع موج ووانرژی حالت�. توجه به این نکته ضروری است که معادله شرودینگر می تواند هر دو شکل وابسته به زمان و مستقل از زمان داشته باشد. برای انجام این کار، باید به یاد داشته باشید که:
اپراتور همیلتونی :اچ^=و�^+وپ^=پ^دودومتر+�^(�)
اپراتور لحظه: پ^=ℏمن∇
اپراتور بالقوه: �^(�)=�(�)
انرژی: و=منℏ∂∂تی (در صورت بستگی به زمان)
بنابراین، در مورد معادله مستقل از زمان، داریم:
-ℏدومتر∇دو�(�)+�(�)�(�)=و�(�) (معادله مستقل از زمان)
در مورد وابستگی زمانی داریم:
-ℏدومتر∇دو�(�،تی)+�(�)�(�،تی)=منℏ∂∂تی�(�،تی) (معادله وابسته به زمان)
مثال ها
در این قسمت چند مثال از محاسبه انرژی مکانیکی آورده می شود.
ذره آزاد
در مورد یک ذره آزاد ، مشخص است که انرژی پتانسیلوپپوچ است. بنابراین انرژی مکانیکی به صورت زیر نوشته می شود: ومتر=و�=پدودومتر
جایی کهپتکانه خطی ذره است ومترجرم آن
نوسان ساز هارمونیک
در مورد یک ذره در نوسانگر هارمونیک، انرژی پتانسیل را می توان به صورت زیر نوشت:
وپ=1دومتر�دوایکسدو
با�بودن سرعت زاویه ای وایکسموقعیت ذره بنابراین انرژی مکانیکی سیستم به صورت زیر بدست می آید:
ومتر=پدودومتر+1دومتر�دوایکسدو
جاذبه گرانشی
در مورد یک ذره جرممتر1در یک پتانسیل گرانشی که توسط ذره جرم دیگری ایجاد می شودمتردو، انرژی مکانیکی سیستم را می توان به صورت نوشتاری نوشت
ومتر=پدودومتر+جی.متر1.متردود
جایی کهجیثابت گرانش جهانی است ودفاصله بین بدن ها
آونگ ساده
در یک آونگ ساده، انرژی مکانیکی سیستم برابر با انرژی پتانسیل گرانشی اولیه خواهد بود که متناسب با ارتفاعی است که از آن آزاد می شود. در طول حرکت رو به پایین، انرژی پتانسیل به دلیل کار انجام شده توسط نیروی گرانشی (وزن) به طور مداوم به انرژی جنبشی تبدیل می شود. هنگامی که بدن به پایین ترین نقطه می رسد، تمام انرژی پتانسیل به انرژی جنبشی تبدیل می شود که مربوط به نقطه حداکثر سرعت آونگ است. پس از عبور از این نقطه، بدن صعود خود را آغاز می کند و روند معکوس آغاز می شود: انرژی جنبشی به پتانسیل گرانشی تبدیل می شود تا زمانی که بدن به طور کامل متوقف شود، در همان ارتفاعی که در سمت دیگر آزاد شده است.
انرژی مکانیکی یک سیستم آونگ ساده با عبارت زیر بدست می آید:
ومتراین است�=متر�اچ+1دومتر�دو
روی چه چیزیمتر�اچانرژی پتانسیل گرانشی است و1دومتر�دوانرژی جنبشی مرتبط با جرم آونگ است. بر اساس اصل پایستگی انرژی مکانیکی، این مجموع در طول زمان ثابت می ماند، یعنی وقتی انرژی جنبشی افزایش می یابد، انرژی پتانسیل باید کاهش یابد و بالعکس.
عنوان فرعی
- ک= ثابت الاستیک
- �=شتاب گرانش (~9.81 m/s²) (ثابت)
- و�= انرژی جنبشی
- متر= جرم (کیلوگرم)
- من= لحظه اینرسی (کیلوگرم * متر مربع)
- �(حرف یونانی امگا) = سرعت زاویه ای (راد/ثانیه)
- �=کار (J)
- وپ�= انرژی پتانسیل گرانشی
- وپاین استلاین استتی�من�این= انرژی پتانسیل الکتریکی
- وپاین استلاینستیمن�این= انرژی پتانسیل الاستیک
- اچ= ارتفاع (متر)
- �= سرعت (m/s)
- ایکس= کشیدگی یا تغییر شکل فنر
